立方體群
總體上看,，魔方(Rubik&； #039,； s cube )為立方體,，共有6個(gè)面(surface )，分別為u ) up上),、d ) d ) D(down下),、f ) f ) F (front前)、b ) B(back后),、l ) L(left左)
設(shè)M={U,，d，f,，b,，l，R},，任意面f M面向我們時(shí),，相對于f面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90定義為魔方的基本操作(base operation )，同樣地，該基本操作被定義為f 所以m表示魔方的所有基本操作,。
與此相對,，將任意的基本操作g，h M,，gh稱為g和h的復(fù)合(compose ),，表示先g操作后h操作的復(fù)合操作。 這樣,，如果將m作為生成源，則可以驗(yàn)證被稱為魔方群(Rubik‘s cube group )的群g=(m )被復(fù)合生成,。 在此,，g的酉被標(biāo)記為1，表示未進(jìn)行任何操作,。
什么是群,？
組是指定義滿足以下條件的運(yùn)算集合：
集合對運(yùn)算是封閉的，即任意的(注意：與乘法相似,，習(xí)慣不省略寫),。
運(yùn)算有分配律。 也就是說,，是針對任意的,。
有多少元，也就是說,，存在是任意的,；
存在逆元，即針對任意存在的逆元使,。
m生成的群是什么,？
從數(shù)學(xué)上來定義的話，包括m中的元素的最小群在內(nèi),，為m生成的群表示為(m ),。 實(shí)際上，對m中的任意操作g和h反復(fù)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算,，如果得到的新的復(fù)合操作gh不在m中,，通過向m中添加gh直到m不再增加，可以得到(m ),。
連續(xù)4次復(fù)合相同的基本操作g是相對于g面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360,，這相當(dāng)于沒有操作，即,，
gggg=1
因此,，有以下內(nèi)容。
g=1
也就是說，g是g的倒數(shù)g,，相當(dāng)于相對于g面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,。
此外，從gggg=1中還可以獲得以下內(nèi)容：
g=1
這表明連續(xù)兩次復(fù)合g的逆元是自己,。 這意味著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180,。
多維數(shù)據(jù)集狀態(tài)
3次魔方被細(xì)分為3 3 3=27個(gè)立方小塊(cubie )。 其中,，中央中心的小塊不受魔方操作的影響,，但對于每個(gè)面中心的小塊的魔方操作也不能改變其位置。 因此,，魔方操作可以影響的小塊是27-1(6)=20個(gè),。
魔方操作的20個(gè)片段分為以下兩類：
魔方八個(gè)角上的角塊。 三個(gè)有效小面,；
魔方12個(gè)角上的邊緣塊,。 有兩個(gè)有效的小面。
因?yàn)槊總€(gè)面的中心塊不會改變位置,，所以對于已打亂的魔方,，可以為每個(gè)中心塊確定魔方每個(gè)面的方向。 魔方在初始(或恢復(fù))狀態(tài)下,，方形塊和棱塊的每個(gè)小面的顏色與該小面所在面的中心的小面的顏色一致,。
通過與方形塊(或方形塊)中每個(gè)小平面顏色對應(yīng)的徽標(biāo)的小寫組合來標(biāo)識方形塊(或方形塊)。
對于方形塊,，三個(gè)小平面x,、y和z有六種對齊。 這里使用從u或d開始的順時(shí)針排列,。 也就是說,，方形塊標(biāo)記xyz保證x=u/d，x y z為順時(shí)針方向,。
對于棱塊,，兩個(gè)小面x、y有兩種排列方法,。 這里使用從u或d(f或b )開始的排列方法,。 即，棱塊標(biāo)記xy保證x=u/d/f/b,；
根據(jù)上述規(guī)則,，8個(gè)角塊分別表示為ufl、urf,、ubr和ulb,； dbl,、dlf、dfr,、drb,； 十二個(gè)棱塊分別為ub、ur,、uf,、ul； bl,、br,、fr、fl,； db,，dr，df,，dl
注意：六個(gè)中心塊分別表示為u,、d,、f,、b、l,、r,，中心塊一般表示為o。
此外,，關(guān)于方形塊xyz,，xyz表示x面，yzx表示y面,，zxy表示z面,，以及方形塊xy，xy表示x面,，yx表示y面,，并且有標(biāo)記的8 3 12 2=48個(gè)面另外，若將整個(gè)小面表示為t,，則任意地操作g G成為t上的一種置換(位置變換),。 以f操作為例，
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